Только если вы сами того желаете. Заставить это сделать никто не имеет права.
Объясняю почему. Положив свою сумку в ячейку и взяв ключик, вы тем самым заключаете с магазином договор хранения (ст.886 ГК) при помощи так называемых конклюдентных действий. А поскольку в статье 421 ГК указан принцип свободы заключения договора (Понуждение к заключению договора не допускается), то соответственно у вас есть право отказаться заключить договор хранения (сдать сумку на хранение).
Также стоит упомянуть, что я ни раз встречал объявления, что администрация магазина за вещи оставленные в ячейках хранения ответственности якобы не несет, что естественно ложь. Ответственность несут, все по той же причине заключенного договора хранения (ст.891 ГК).
Если охранник или иное лицо не пускает вас в магазин по причине вашего отказа сдать на входе сумку, это тоже нарушение ваших прав. Не пуская вас в магазин, нарушается принцип публичности договора (Публичный договор — договор, заключённый коммерческой организацией и устанавливающий ее обязанности по продаже товаров, выполнению работ или оказанию услуг, которые такая организация по характеру своей деятельности должна осуществлять в отношении каждого, кто к ней обратится), что означает что магазин не вправе отказать в продаже товаров.
В случае нарушения прав следует помнить про книгу отзывов и предложений(ей будет посвящен отдельный пост), а если уж очень задело, можно обратиться в Роспотребнадзор, или вызвать милицию для составления протокола об административном правонарушении по ст. 14.15 КоАП РФ.